Cauchy-Shwarz inequality

Cauchy-Shwarz 不等式

$$ \begin{align} \int_X dx \left\{ f(x)g(x)\right\}^2 \leq \left\{\int_X dx f(x)^2\right\} \left\{\int_X dx g(x)^2\right\}. \end{align} $$

証明

$$ h(t) = \int_X dx \left\{tf(x) + g(x)\right\}^2 $$

とすると,

$$ h(t) = t^2 \int_X dx f(x)^2 + 2t\int_X dx f(x)g(x) + \int_X dx g(x)^2 \geq 0. $$

よって, \( h(t)\)の判別式\( D\)は,

$$ D = \left\{\int_X dx f(x)g(x)\right\}^2 - \left\{\int_X dx f(x)^2\right\}\left\{\int_X dx g(x)^2\right\} \leq 0. $$

特に\( x\)を\( X\)値確率変数, その確率密度函数を\( p\)として\( \int_X dx\)の代わりに\( \int_X dx p(x)\)を用いれば, 期待値についてのCauchy-Shwarz不等式:

$$ \left\langle f(x)g(x) \right\rangle^2 \leq \left\langle f(x)^2\right\rangle \left\langle g(x)^2\right\rangle $$

が得られる.