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$$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle} \newcommand{\matr}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{\pdif}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\pdifn}[3]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\dif}[2]{\frac{d #1}{d #2}} \newcommand{\bracket}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} $$

2019-12-11

Lyapunov inequality

確率不等式

Lyapunov不等式

$s>r>1$ のとき, $\left\langle|X|^r\right\rangle^{1/r}\leq\left\langle|X|^s\right\rangle^{1/s}$ .

証明

Hölderの不等式で $Y=1$ とすると,

$\begin{aligned} \left\langle|X|^r|1|\right\rangle\leq\left\langle|X|^{rp}\right\rangle^{1/p}\left\langle|1|^q\right\rangle^{1/q}, \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1. \end{aligned}$

$p=\frac{s}{r}$ とできるので,

$\begin{aligned} \left\langle|X|^r\right\rangle \leq \left\langle|X|^s\right\rangle^{r/s}. \end{aligned}$

両辺を $1/r$ 乗すると,

$\begin{aligned} \left\langle|X|^r\right\rangle^{1/r} \leq \left\langle|X|^s\right\rangle^{1/s}. \end{aligned}$